Autologistics

Autologistics {#autologistic}

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Ising 에 추가적인 조건을 덧붙인 결과물.

2차원 lattice 를 가정. 이때 이 lattice 의 각 node 의 쌍 $(i,j)$ 는 이에 엮인 랜덤 변수 $X_{i,j}$ 를 가짐.

이때 가장 가까이 위치하고 있는 최단거리 이웃 둘 사이의 관계를 서술하기 위해, 즉 상응하는 2개의 actor 사이의 상호작용에 해당하는 랜덤변수 $X_{i,j}$ 를 서술하기 위해 사용될 수 있는 조건부 확률의 형태는 이하와 같다.

이때 변수들 $X_{i,j}$ 들 사이의 상호관계를 서술하기 위해 적용될 수 있는 nearest-neighbor model 들 중 하나의 개념은 이하와 같이 조건부 확률의 형으로 제시된다.

$$P(x_{i,j}|\text{all other values})\equiv P(x_{i,j}|x_{i-1,j},x_{i+1,j},x_{i,j-1},x_{i,j+1})$$

위의 식이 직관적인 표현을 제시하긴 하지만 여기에도 단점은 있음. 예를 들어 lattice 의 joint probability distribution 을 평가할 방법이 없으며, 또 이런 조건부 확률로 표현하는 함수의 형은 severe consistency condition 에 강하게 의존함.

model 이 spatially homogenous 라고 가정하고 binary 데이터를 사용한다고 가정하자. 그러면 이하과 같이 식을 작성할 수 있다.

$$\begin{gathered} \exists \alpha ,{\beta }_1,{\beta }_2\in \mathbb{R}:p(x_{i,j}|x_{i-1,j},x_{i+1,j},x_{i,j-1},x_{i,j+1}) \\ =\frac{\exp \left\{x\right[\alpha +{\beta }_1(x_{i-1,j}+x_{i+1,j})+{\beta }_2(x_{i,j-1}+x_{i,j+1})\left]\right\}}{1+\exp \{\alpha +{\beta }_1(x_{i-1,j}+x_{i+1,j})+{\beta }_2(x_{i,j-1}+x_{i,j+1})\}} \end{gathered}$$

위의 모델과 logistic regression model 간에 어느정도 유사점을 발견할 수 있을 것. 때문에 위의 모델을 auto-logistic model 이라고 명명하였다.

boundary of zeros ${\mathbf{x}}_B=0$ 이 lattice 의 inner array ${\mathbf{x}}_I$ 를 둘러싸고 있다고 한다면 이하가 성립한다. 이때 모든 $(i,j)\in I$ 에 대한 summation 과 $C(\alpha ,{\beta }_1,{\beta }_2)$ 는 normalizing function. 이의 실값 자체는 array 의 dimension 에 의존하여 정해짐.

$$P\{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}|{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}=0\}=\frac{\exp \{\sum (\alpha +{\beta }_1{x}_{i-1,j}+{\beta }_2{x}_{i,j-1}\left)x_{i,j}\right\}}{C(\alpha ,{\beta }_{1,}{\beta }_2)}$$

위의 결과는 closed boundary 만 가지고 있다면 그 closed boundary 가 뭔 형태든 성립함. 위의 결과를 가지면 문서의 가장 위에서 제시했던 조건부 확률의 식의 형과 일치하는 결과를 얻을 수 있지만, 이 시점까지도 아직 lattice 의 joint probability distribution 을 직접적으로 얻을 수는 없다는 점을 또 notice.