mgf

확률변수 $X$ 에 대한 $e^{tX}$의 기댓값.

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =E[e^{tX}]\\ & =\sum _x{e}^{tx}P(X=x)\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{tx}f(x)dx\end{array}$$

mgf를 $t$에 대해 $n$번 미분한 후, $t=0$을 대입하면 n차 moment $E[X^n]$ 가 생산됨.

$$\begin{array}{rl}{M}_X^{(n)}(0)& =E[X^n]\\ E[X]& =M_X^{\prime }(0)\\ Var(X)& =M_X^{\prime \prime }(0)-\{M_X^{\prime }(0){\}}^2\end{array}$$

mgf 는 유일성을 가지며, 두 확률변수의 mgf가 같다면, 두 변수의 확률 분포는 같다.

이때, 서로독립인 확률변수 $X$, $Y$ 의 합에 대한 mgf는 각 mgf 의 곱이 된다.

$$M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t)$$

또한 선형변환에 대해서도 이하로 축소 가능.

$$M_{aX+b}(t)=e^{bt}\cdot M_X(at)$$